Opções De Ações Do Empregado Modelo Black Scholes

ESOs: Usando o Modelo Black-Scholes As empresas precisam usar um modelo de preço de opções para pagar o valor justo de suas opções de estoque de empregado (ESOs). Aqui mostramos como as empresas produzem essas estimativas de acordo com as regras vigentes a partir de abril de 2004. Uma opção tem um valor mínimo Quando concedido, um ESO típico tem valor de tempo, mas sem valor intrínseco. Mas a opção vale mais do que nada. O valor mínimo é o preço mínimo que alguém estaria disposto a pagar pela opção. É o valor defendido por duas propostas de legislação (as contas do Congresso Enzi-Reid e Baker-Eshoo). É também o valor que as empresas privadas podem usar para valorar seus subsídios. Se você usar zero como a entrada de volatilidade no modelo Black-Scholes, você obtém o valor mínimo. As empresas privadas podem usar o valor mínimo porque não possuem histórico comercial, o que torna difícil medir a volatilidade. Legisladores gostam do valor mínimo porque remove a volatilidade - uma fonte de grande controvérsia - da equação. A comunidade de alta tecnologia, em particular, tenta minar o Black-Scholes argumentando que a volatilidade não é confiável. Infelizmente, a remoção da volatilidade cria comparações injustas porque remove todos os riscos. Por exemplo, uma opção 50 no estoque Wal-Mart tem o mesmo valor mínimo que uma opção 50 em um estoque de alta tecnologia. O valor mínimo pressupõe que o estoque deve crescer pelo menos a taxa sem risco (por exemplo, o rendimento do Tesouro de cinco ou 10 anos). Nós ilustramos a idéia abaixo, examinando uma opção de 30 com um prazo de 10 anos e uma taxa sem risco (e sem dividendos): você pode ver que o modelo de valor mínimo faz três coisas: (1) cresce o estoque em A taxa livre de risco para o termo completo, (2) assume um exercício e (3) descontos o ganho futuro para o valor presente com a mesma taxa livre de risco. Calculando o Valor Mínimo Se esperamos que um estoque atinja pelo menos um retorno sem risco sob o método do valor mínimo, os dividendos reduzem o valor da opção (como o detentor das opções renuncia a dividendos). Dito de outra forma, se assumirmos uma taxa sem risco para o retorno total, mas alguns dos vazamentos de retorno para dividendos, a valorização esperada do preço será menor. O modelo reflete essa menor valorização ao reduzir o preço das ações. Nas duas exposições abaixo, derivamos a fórmula de valor mínimo. O primeiro mostra como chegamos a um valor mínimo para uma ação que não paga dividendos, o segundo substitui um preço de ações reduzidas pela mesma equação para refletir o efeito de redução de dividendos. Aqui está a fórmula de valor mínimo para um estoque de dividendos: preço de ações de s e constante de Eulers (2.718) d rendimento de dividendo t termo de opção k exercício (strike) preço r taxa de risco não se preocupe com a constante e (2.718) é Apenas uma maneira de compor e descontar continuamente em vez de compor em intervalos anuais. Volatilidade do Valor Mínimo de Black-Scholes Podemos entender o Black-Scholes como sendo igual ao valor mínimo de opções mais valor adicional para a volatilidade das opções: quanto maior a volatilidade, maior o valor adicional. Graficamente, podemos ver o valor mínimo como uma função inclinada para cima do termo da opção. A volatilidade é um aumento na linha de valor mínimo. Aqueles que estão inclinados matematicamente podem preferir entender o Black-Scholes como tomando a fórmula de valor mínimo que já revisamos e adicionando dois fatores de volatilidade (N1 e N2). Juntos, estes aumentam o valor dependendo do grau de volatilidade. Black-Scholes deve ser ajustado para ESOs Black-Scholes estima o valor justo de uma opção. É um modelo teórico que faz vários pressupostos, incluindo a capacidade comercial total da opção (ou seja, a medida em que a opção pode ser exercida ou vendida nos titulares das opções) e uma volatilidade constante ao longo da vida das opções. Se os pressupostos forem corretos, o modelo é uma prova matemática e sua saída de preço deve estar correta. Mas, estritamente falando, os pressupostos provavelmente não estão corretos. Por exemplo, exige que os preços das ações se movam em um caminho chamado movimento browniano - uma caminhada aleatória fascinante que realmente é observada em partículas microscópicas. Muitos estudos discutem que os estoques se movem dessa maneira. Outros pensam que o movimento Brownian aproxima-se o bastante, e considera o Black-Scholes uma estimativa imprecisa, mas útil. Para opções negociadas de curto prazo, o Black-Scholes tem sido extremamente bem sucedido em muitos testes empíricos que comparam a produção de preços com os preços de mercado observados. Existem três diferenças principais entre os ESOs e as opções negociadas de curto prazo (que estão resumidas na tabela abaixo). Tecnicamente, cada uma dessas diferenças viola uma hipótese de Black-Scholes - um fato contemplado pelas regras contábeis no FAS 123. Estes incluíram dois ajustes ou correções para o produto natural dos modelos, mas a terceira diferença - essa volatilidade não pode manter-se constante ao longo do tempo invulgarmente longo Vida de um ESO - não foi abordada. Aqui estão as três diferenças e as correções de avaliação propostas propostas no FAS 123 que ainda estão vigentes a partir de março de 2004. A correção mais significativa nas regras atuais é que as empresas podem usar a vida esperada no modelo em vez do termo completo real. É típico que uma empresa use uma vida esperada de quatro a seis anos para avaliar as opções com termos de 10 anos. Esta é uma solução estranha - um band-aid, realmente - uma vez que Black-Scholes exige o termo atual. Mas o FASB estava procurando uma maneira quase objetiva de reduzir o valor do ESO, uma vez que não é negociado (isto é, desconsiderar o valor do ESO por sua falta de liquidez). Conclusão - Efeitos Práticos O Black-Scholes é sensível a várias variáveis, mas se assumirmos uma opção de 10 anos em um estoque de dividendos e uma taxa sem risco de 5, o valor mínimo (não assume volatilidade) nos dá 30 Do preço das ações. Se adicionarmos a volatilidade esperada de, digamos, 50, o valor da opção quase dobra quase 60 do preço das ações. Então, para esta opção particular, a Black-Scholes nos dá 60 de preço das ações. Mas quando aplicado a um ESO, uma empresa pode reduzir a entrada real de 10 anos para uma vida esperada mais curta. Para o exemplo acima, reduzir o prazo de 10 anos para uma vida esperada de cinco anos traz o valor até cerca de 45 de valor nominal (e uma redução de pelo menos 10-20 é típica ao reduzir o prazo para a vida esperada). Finalmente, a empresa consegue fazer uma redução no corte de cabelo em antecipação a confisco devido à rotatividade de funcionários. A este respeito, um corte de cabelo adicional de 5-15 seria comum. Então, em nosso exemplo, o 45 seria ainda mais reduzido a uma despesa de cerca de 30-40 do preço das ações. Depois de adicionar a volatilidade e, em seguida, subtrair-se por um prazo reduzido de vida esperada e perda esperada, estamos quase de volta ao valor mínimo ESOs: Usando ModelosO Binomiais: Usando o Modelo Binomial Em 1 de abril de 2004, o Conselho de Normas de Contabilidade Financeira (FASB) Publicou uma proposta sobre o novo tratamento contábil das opções de estoque de empregados ESOs. As regras finais provavelmente serão emitidas em algum momento no outono de 2004. Mas as regras finais provavelmente se assemelham à proposta: o FASB rejeitou - claramente para sua própria satisfação - as críticas mais visíveis e óbvias da proposta de despesas de opções de ações. Atualmente, a maioria das empresas usa o modelo de precificação de opções Black-Scholes para avaliar seus ESOs. As novas regras, no entanto, incentivam - mas não exigem - as empresas a usar o modelo binomial. Portanto, podemos esperar que as empresas mudem para o binômio na próxima temporada do relatório anual. Nesta seção, explicamos a idéia por trás do modelo binomial. O Binomial constrói uma árvore de preços futuros de ações O Black-Scholes é um modelo fechado, o que significa que resolve ou deduz um preço de opções de uma equação. Em contraste, o binômio é um modelo aberto ou em rede. Ele cria uma árvore de possíveis movimentos futuros de estoque-preço e induz o preço das opções. Comece com um binômio de uma única etapa. Suponhamos que concedamos uma opção em um estoque de 10 que expirará em um ano. Nós também assumimos que há uma chance de 50 que o preço salte 12 ao longo do ano e 50 chances de que o estoque caia 12. Existem três cálculos básicos. Primeiro, planejamos os dois possíveis preços futuros das ações. Em segundo lugar, traduzimos os preços das ações em valores de opções futuras: no final do ano, esta opção valerá 1,20 ou nada. Em terceiro lugar, descontamos os valores futuros em um único valor presente. Nesse caso, os 1.20 descontos para 1.14 porque assumimos uma taxa de 5 menos risco. Depois de ponderar cada resultado possível em 50, o binômio de uma única etapa diz que nossa opção vale 0,57 em concessão. Um binômio de pleno direito simplesmente estende esse modelo de um passo em uma caminhada aleatória de várias etapas (ou intervalos). Como tal, o cálculo do binômio envolve as mesmas três ações básicas. Primeiro, a árvore dos possíveis preços das ações futuras é construída e a entrada de volatilidade determina a magnitude de cada salto para cima ou para baixo. Em segundo lugar, os preços das ações futuras são convertidos em valores de opção em cada intervalo na árvore. Em terceiro lugar, esses futuros valores de opção são descontados de volta a um único valor presente. Este terceiro passo é chamado de indução para trás. A indução reversa simplesmente começa com os valores das opções finais e funciona para trás através de uma série de mini-modelos de um passo. Por exemplo, o valor das opções para Su4 acima (o valor seguinte ao último na parte superior da árvore) é apenas uma mistura ponderada dos dois nós finais que se seguem. E Su3 torna-se uma mistura ponderada do Su4 e Su2, e assim por diante até o modelo converger para um único valor de opção - em termos de valor presente - na frente da árvore. O Binomial Tree valoriza uma opção de estilo americano com flexibilidade. Uma grande vantagem do binômio é que ele pode valorizar uma opção de estilo americano. O que pode ser exercido antes do final do prazo, e é o estilo de opção que os ESO geralmente usam. O modelo atinge essa capacidade de avaliação comparando o valor calculado em cada nó (como acima) com o valor intrínseco nesse nó. Nos poucos casos em que o valor intrínseco é maior, o modelo assume que a opção vale o valor intrínseco no nó. Isso tem o efeito geral de aumentar o valor da opção de estilo americano em relação a uma opção de estilo europeu. Como alguns dos nós são aumentados. Você pode ver que o binômio é um modelo de força bruta que pode ser construído com uma flexibilidade quase ilimitada. O FASB prefere o modelo binomial porque ele pode criar as características únicas de um ESO. Considere duas características principais que a FASB recomenda que as empresas construam o modelo binomial: restringir as restrições e o exercício inicial. A árvore binomial acima é a mesma que antes, exceto com duas diferenças. Primeiro, porque a opção não é investida nos primeiros anos, o modelo não assume exercícios iniciais durante esses anos (o que seria feito para resgatar valores intrínsecos elevados nos caminhos de salto ascendentes). Segundo - e esta é uma diferença fundamental - o binômio permite um fator de exercício. O FASB chama isso de fator de exercício subóptimo. Um fator de exercício de 2x, por exemplo, permite ao modelo assumir que os funcionários exercerão a opção se o preço da ação aumentar para dobrar (2x) o preço de exercício. A idéia por trás desse fator é simplesmente antecipar o exercício antecipado das opções dentro do dinheiro em circunstâncias favoráveis. Se o fator de exercício for acionado, a opção é assumida como sendo exercida, e a árvore binomial basicamente pára nesse nó. Você pode ver esses dois recursos reduzir o valor da opção, todas as outras coisas sendo iguais. A seção não-adquirida do modelo limita o valor em cada nó ao valor descontado dos dois futuros nós (mesmo quando o valor intrínseco é maior e, portanto, seria normalmente usado em vez disso). O fator de exercício elimina o valor adicional que poderia resultar da opção se fosse continuar a conduzir a trajetória ascendente. A nova regra de contabilidade favorece o binômio A regra contábil proposta (SFAS 123 modificado) favorece o binômio para os preços ESOs. À medida que as empresas mudam do Black-Scholes para o binômio, há quatro diferenças importantes nos métodos de avaliação a serem observados: Tenha em mente que os ESOs são muito menos líquidos que as opções negociadas, uma vez que um empregado não pode vender sua opção em uma troca pública. Você pode lembrar que o Black-Scholes lida com uma solução de banda: as empresas usam uma vida esperada reduzida em vez do termo completo de 10 anos como entrada no Black-Scholes. Como o modelo binomial já é construído - nesses fatores de iliquidez através das restrições de aquisição e dos pressupostos de exercícios iniciais, o binômio aceita o termo completo de 10 anos como entrada. Implicações práticas O binômio contém mais suposições do que o Black-Scholes. Alguns argumentaram que o binômio produzirá estimativas de despesas dramaticamente mais baixas que o Black-Scholes, mas isso não é necessariamente o caso. Alternar de Black-Scholes para o binômio pode aumentar ligeiramente, manter ou diminuir a despesa das opções. Certamente, se uma empresa estabelece um fator de exercício agressivamente baixo como 1.25x (o que assumiria que os funcionários exercerão suas opções quando o estoque for 25 acima do preço de exercício), o binômio produzirá uma estimativa de valor menor. Por outro lado, se todas as entradas forem inalteradas e o fator de exercício for alto, o valor das opções no binômio pode aumentar porque incorpora o valor adicional dos ESOs de estilo americano, que podem ser exercidos antecipadamente. É claro que uma empresa também pode tentar obter um valor menor ajustando as entradas à medida que troca modelos. Por exemplo, mudar de 40 volatilidade sob Black-Scholes para uma faixa de volatilidade de 20 a 40 sob o binômio é susceptível de produzir um menor valor de opções. Mas, neste exemplo, a causa real de um valor menor não é uma mudança nos modelos de preços de opções, tanto quanto a redução da volatilidade média de 40 a 30. Abaixo, comparamos o valor Black-Scholes com o valor binomial para uma opção em um estoque 100. Nós usamos a mesma volatilidade para ambos os modelos, de modo que a diferença primária de avaliação é reduzida para (1) a entrada de vida esperada utilizada no Black-Scholes em comparação com (2) o fator de exercício usado no binômio. Outras variáveis ​​são importantes, é claro, mas essa é a principal diferença entre os modelos quando a mesma volatilidade é usada. Você pode ver isso, quando você coloca tudo em conjunto, o binômio pode ser maior, menor ou similar ao Black-Scholes. Resumo Esta e a seção anterior deste recurso resumem duas abordagens diferentes para estimar o valor justo de um ESO no momento em que é concedido. De acordo com as regras propostas, esse valor justo deve ser reconhecido como uma despesa em demonstrações de resultados com exercícios iniciados após 15 de dezembro de 2004. Se houvesse um mercado público ou câmbio para negociação de ESOs, a empresa poderia e usaria preços de mercado. Faltando, o modelo binomial representa uma tentativa de afinar o valor justo teoricamente correto de um ESO, dado seus recursos exclusivos. No entanto, é apenas uma tentativa de capturar o valor justo na concessão, à luz da incerteza futura. O custo finalmente realizado da opção dependerá da trajetória futura do estoque-preço, que é susceptível de divergir do valor justo. ESOs: Diluição - Parte 1 Usando o Black-Scholes para colocar um valor nas opções de ações (LifeWire) - Durante anos, as empresas que pagaram opções de compra de ações poderiam evitar deduzir o custo dessas opções como despesa. As regras mudaram em 2005, quando o setor de contabilidade atualizou suas diretrizes sobre pagamentos baseados em compartilhamento, em uma regra chamada FAS 123 (R). Hoje, as empresas geralmente escolhem entre um dos dois métodos para avaliar o custo de oferecer a um empregado uma opção de estoque: um modelo de Black-Scholes ou um modelo de rede. Qualquer um que eles escolham, eles devem deduzir a despesa de opções de seus lucros, reduzindo os ganhos por ação. O modelo Black-Scholes é uma fórmula vencedora do Prêmio Nobel que pode determinar o valor teórico de uma opção com base em uma série de variáveis. Como as opções concedem aos empregados réplicas de opções negociadas em bolsa, as regras de Black-Scholes exigem alguma modificação para opções de funcionários. A equação dos modelos é complexa, mas as variáveis ​​são simples de entender. Eles também são úteis na determinação das conseqüências do investimento em empresas cujas ações possuem maior volatilidade. Para ver se uma empresa usa o Black-Scholes para valorar suas opções e os pressupostos que faz sobre as opções, verifique seu último relatório trimestral 10-Q no site da Securities and Exchange Commission. Por que as opções são difíceis de valor Quando uma empresa dá um bônus em dinheiro de 1 milhão ao diretor-presidente, o custo é claro. Mas, quando dá ao CEO o direito de comprar um milhão de ações em 25 por ação em algum momento no futuro, o custo não é fácil de figurar. Por exemplo, a opção pode tornar-se inútil se o estoque nunca subir acima de 25 durante o tempo que a opção for válida. Black-Scholes pode determinar o custo teórico da opção na data em que é emitido para o empregado. Três fatores geralmente afetam o preço de uma opção sob Black-Scholes, de acordo com o Options Industry Council, um grupo comercial: o valor intrínseco das opções. A probabilidade de uma mudança significativa no estoque. O custo do dinheiro, ou as taxas de juros. O modelo de precificação de Black-Scholes considera o preço atual de uma ação e o preço-alvo como duas variáveis ​​críticas ao colocar um preço em uma opção. Uma opção de compra, você pode se lembrar, dá ao titular o direito de comprar um estoque a um preço-alvo fixo dentro de um período de tempo especificado, não importa o quão alto o estoque subisse. Considere duas opções de compra no mesmo 10 ações - uma com um preço-alvo de 12 e uma com um preço-alvo de 15. Um investidor pagaria mais pela opção com um preço-alvo de 12, pois as ações precisariam aumentar apenas 2,01 para A opção de se tornar valiosa, ou no dinheiro. Observe que esses fatores geralmente são menos significativos para opções de estoque de empregados. Isso porque as empresas geralmente emitem opções de funcionários com um preço-alvo idêntico ao preço de mercado no dia da emissão das opções. Probabilidade de mudança significativa: o tempo até a opção expirar No modelo Black-Scholes, uma opção com uma vida útil mais longa é mais valiosa do que uma opção idêntica que expira mais cedo. Isso faz sentido lógico: com mais tempo para trocar, um estoque tem uma chance maior de superar seu preço-alvo. Para ilustrar, considere duas opções de chamadas idênticas em ações da ABT Corp. e assumir que atualmente é negociada por 37 partes. A opção que expira em novembro tem quatro meses adicionais para aumentar acima de 43, por isso será mais valioso do que uma opção de julho idêntica. As opções de estoque de empregados muitas vezes expiram muitos anos na estrada, às vezes uma década depois. Mas os funcionários muitas vezes exercitam opções muito antes de expirarem. Como resultado, as empresas não precisam assumir que a opção será exercida no último dia de validade. Ao calcular o custo de uma opção, as empresas geralmente assumirão um período mais curto - digamos, quatro anos para uma opção de 10 anos. Faz sentido por que eles queriam fazer isso: sob Black-Scholes, termos mais curtos reduzem o valor de uma opção e, assim, reduzem o custo da concessão de opções para a empresa. Probabilidade de mudança significativa: volatilidade com Black-Scholes, a volatilidade é dourada. Considere duas empresas, a Boring Story Inc. e a Wild Child Corp., que ambas acontecem ao comércio por 25 partes. Agora, considere uma opção de 30 chamadas nesses estoques. Para que essas opções se tornem no dinheiro, as ações precisarão aumentar em 5 antes da expiração da opção. Do ponto de vista dos investidores, a opção "Criança Selvagem" - que flui no mercado - seria, naturalmente, mais valiosa do que a opção na história chata, que históricamente mudou muito pouco para o dia. Existem várias maneiras de medir a volatilidade, mas todos eles visam mostrar uma tendência de estoque para subir e cair. A implicação para os investidores é que as empresas cujos preços das ações são mais voláteis pagarão um preço mais alto para emitir opções aos empregados. Taxas de juros mais elevadas aumentam o valor de uma opção de compra, aumentando o custo de emissão de opções de ações para os funcionários. Quando o Federal Reserve aumenta as taxas de juros, isso tende a tornar as opções de ações mais caras para as empresas. As taxas afetam os preços das opções devido à importância do valor do tempo em dinheiro nas opções. Considere uma pessoa comprando opções para 100 ações da ManyPenny Inc. com um preço-alvo de 20. O investidor pode pagar apenas um pequeno montante para a opção, mas pode reservar 2.000 para cobrir o eventual custo de exercer a opção e comprar as 100 ações da estoque. Quando as taxas de juros aumentam, o comprador das opções pode ganhar mais interesse nessa reserva de 2.000. Como resultado, quando as taxas de juros são mais altas, os compradores de opções de compra geralmente estão dispostos a pagar mais por uma opção. Para mais informações O Financial Accounting Standards Board, um conselho independente que estabelece procedimentos contábeis padrão, fornece uma declaração on-line sobre sua regra FAS 123 (R). Que diz respeito ao preço das opções de compra de ações dos empregados e outra remuneração baseada em ações. O Conselho de Indústria de Opções oferece um tutorial on-line sobre preços de opções. A Real Academia Sueca de Ciências publica sua citação a partir de 1997, quando concedeu o Prêmio Nobel de Economia a Robert C. Merton e Myron S. Scholes, que, em colaboração com o falecido Fischer Black, desenvolveram o modelo de previsão da opção Black-Scholes.